The Cosmological Constant and Discrete Space-times

In this thesis the cosmological constant is investigated from two points of view. First, we study the influence of a time-dependent cosmological constant on the late-time expansion of the universe. Thereby, we consider several combinations of scaling laws motivated by renormalisation group running and different choices for the interpretation of the renormalisation scale. Apart from well known solutions like de Sitter final states we also observe the appearance of future singularities. As the second topic we explore vacuum energy in the context of discrete extra dimensions, and we calculate the Casimir energy density as a contribution to the cosmological constant. The results are applied in a deconstruction scenario, where we propose a method to determine the zero-point energy of quantum fields in four dimensions. In a related way we find a lower bound on the size of a discrete gravitational extra dimension, and finally we discuss the graviton and fermion mass spectra in a scenario, where the extra dimensions form a discrete curved disk. Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die kosmologische Konstante aus zwei verschiedenen Blickwinkeln untersucht. Als erstes behandeln wir den Einfluß einer zeitabhängigen kosmologischen Konstante auf die Entwicklung des Universums zu späten Zeiten. Dabei betrachten wir mehrere Skalengesetze, die vom Renormierungsgruppenlaufen herrühren, und außerdem verschiedene Möglichkeiten, die Renormierungsskala festzulegen. Neben bekannten Lösungen wie dem de Sitter Kosmos beobachten wir auch das Auftreten von Singularitäten in endlicher Zukunft. Der zweite Schwerpunkt dieser Arbeit stellt Vakuumenergie in diskreten extra Dimensionen dar, wo die Casimirenergiedichte als Beitrag zur kosmologischen Konstante berechnet wird. Im Rahmen von Deconstruction verwenden wir die Ergebnisse, um eine Möglichkeit zu finden, die Nullpunktsenergie von Quantenfeldern in vier Dimensionen zu bestimmen. Ebenso leiten wir eine untere Schranke für die Größe einer diskreten gravitativen extra Dimension her. Und schließlich diskutieren wir die Massenspektren von Gravitonen und Fermionen in einem Modell, bei dem die extra Dimensionen eine diskrete gekrümmte Scheibe bilden.